Бабурин Алексей Алексеевич родился 31 августа 1921 года в г. Глазове Вятской губернии (впоследствии Удмуртская АССР).

В 1940 году окончил Богдановическую среднюю школу, в том же году был призван в ряды Советской Армии.

Сумел пройти всю Великую Отечественную войну от начала до конца, был демобилизован лишь в 1946 году. Служил в различных гвардейских частях воздушно-десантных войск рядовым, командиром отделения, инструктором парашютно-десантной подготовки воздушно-десантных войск, старшиной минометной роты. Защищал Родину на Дальневосточном фронте, а позднее в Центральной группе войск (Австрия, Венгрия, Чехословакия). За все время войны не получил ни одного ранения, в плену не был. В 1945 году Президиумом Верховного Совета СССР награжден медалью «За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941-1945гг.».

С 1946 по 1948 год прошел обучение в Свердловской юридической школе г. Свердловск, получил среднее юридическое образование. Позднее обучался в Новосибирском филиале Всесоюзного юридического заочного института (ВЮЗИ).

В 1947 году женился на Бабуриной Надежде Петровне, которая после окончания юридической школы была избрана народным судьей народного суда 1 участка Ленинского района г. Красноярска. В 1949 году в их семье родился сын Сергей, в 1954 году – сын Евгений.

Стаж работы Бабурина Алексея Алексеевича в качестве юриста исчисляется с 1948 года.

В период с 1948 по 1964 год работал помощником прокурора Бирилюсского района Красноярского края (с. Бирилюссы), помощником прокурора Кировского района г. Красноярска, прокурором уголовно-судебного отдела прокуратуры Красноярского края (г. Красноярск), прокурором г. Боготола.

С 1964 по 1965 год служил в должности начальника следственного отделения управления по обеспечению порядка Управления внутренних дел Красноярского крайисполкома (СО УООП УВД Красноярского крайисполкома).

С 1965 по 1973 год работал адвокатом, а также заместителем председателя Красноярской краевой коллегии адвокатов.

18 июня 1973 года Бабурин А.А. избран народным судьей Октябрьского районного народного суда г. Красноярска, служил в этой должности до 21 июня 1982 года.

Согласно сохраненным архивным документам в ряде характеристик, составленных на Бабурина Алексея Алексеевича при назначении на должность прокурора г. Боготола, коллеги и руководители отзывались о нем исключительно положительно, отмечая его профессионализм, ответственность, грамотность, добросовестность и преданность своему делу, стремление развиваться, повышать свой идейно-политический уровень и деловую квалификацию. Помимо этого подчеркивалось его активное участие в партийной и общественной жизни коллектива, видели в нем человека, пользовавшегося авторитетом среди сослуживцев, требовательно относящегося к себе и к товарищам по службе.